Ruby, 48 - 13 января 2008 22:01

Парадоксы отождествления

Для корректного рассмотрения данной проблемы введем понятие о парадоксе отождествления понятий фрактальной теории с природным феноменом, когда предмет измерения, в зависимости от понятийных установок исследователя, может менять свой свой понятийный статус.

По аналогии с интерпретацией квантово-механических событий копенгагенской школы Бора и Гейзенберга, можно предположить, что при отождествлении предмета измерения разными теориями (фрактальной геометрией и геометрией Евклида) образуются комплиментарные предложения, по крайней мере одно из которых может быть определенным, тогда как другое - неопределено.

Будем считать, что утверждение о том, является ли отождествление природного феномена, например, с евклидовой линией или фракталом, является неопределенным до тех пор, пока мы не уточним, в рамках какой теории мы его пытаемся объяснить - на языке фракталов, или на языках других геометрий. Только после такого уточнения одно из дополнительных понятий приобретает смысл.

Например, пусть А - высказывание "длина побережья Британии равна 2 километра", В - высказывание "фрактальная размерность побережья Британии равна 1.23".

Высказывания А и В находятся в отношении, напоминающим отношение дополнительности в квантовой механике. Если измерена длина побережья, и результаты измерения выражены высказыванием А, то А - истинно или ложно.

В этом случае высказывание В о том, что побережье Британии имеет фрактальную размерность принципиально неопределено - фиксированием длины мы задали линейность побережья как ее единичную, нефрактальную размерность.

Длину и фрактальную размерность измерить одновременно (при одном и том же масштабном преобразовании) нельзя. А дополнительно к В. И наоборот - В дополнительно к А. Как и в квантовой механике, дополнительность в данном случае симметрична.

Эти высказывания подпадают под определение отношения дополнительности В.С.Меськова: "Два высказывания находятся в отношении дополнительности, если и только если: 1) они не могут быть одновременно истинными; 2) они не могут быть одновременно ложными; 3) если одно из них является истинными или ложным, то второе - неопределенным; 4) если одно из них является неопределенным, то второе может принимать любое из допустимых истинностных значений".

Если высказывание А или его отрицание определены как истинные или ложные, то высказывание В неопределено и наоборот.

Как известно, Г.Рейхенбах, наряду с М.Штраусом и П.Феврие был основоположником семантического подхода в логике квантовой механики, суть которого заключалась в логической экспликации дополнительности, "предполагающей переход от дополнительности как отношения между одновременно ненаблюдаемыми в квантовой механике величинами к дополнительности как отношению между высказываниями о значении этих величин, то есть как к отношению между экспериментальными высказываниями квантовой механики."

Аналогичный переход вполне возможен и при рассмотрении методологии интерсубъективной сборки понятия фрактала.

Введение в предмет рассмотрения фрактальных размерностей или характеристик, связанных с гладкими моделями, зависит от наблюдателя. Поэтому говорить об "объективности" измерения, как о возможности точного разделения субъекта и объекта измерения в смысле их независимости, принципиально невозможно - "фрактальная" или "линейная" установка наблюдателя влияет на результат измерения.

Данный пример может служить иллюстрацией того, как разные способы задания размерностей могут конституировать разные понятия. В "побережье-как-линии" наблюдатель метафизически (доопытно, до осуществления операциональной геометрической практики) уже предположил линеарность предмета измерения, введя этим предположением целую размерность предмета измерения. Из-за этого предположения конституируется понятие длины, лишающее понятие фрактала смысла, и соответственно, обессмысливающее употребление этого понятия в данном "линейном" контексте. В этом контексте фрактал и фрактальная размерность ненаблюдаемы. Наблюдатель, в силу настроенности своих механизмов интерпретации на линейные схемы объяснения, их просто не видит.

И наоборот линия ненаблюдаема (вместе с понятием длины) при настройке механизмов "схватывания" - отождествления фрактала (естественно, что в определенном диапазоне масштабов).

Надо заметить методологическое отличие от введения различения предметов измерения на одном природном феномене типа длина-размерность от различения предметов измерения типа длина-площадь, или длина-цвет.

Отличие состоит в специальном выстраивании соответствия теорий, задающих понятия длины и понятие размерности.

Мандельброт специально искал такое определение размерости (по Хаусдорфу и Безиковичу), которое бы в общем случае было бы характеристикой фрактального множества, а частном случае была равна обычной топологической размерности.

Теория измерения фрактала включает в себя в качестве частного случая и измерение размерностей гладких тел.

Соответствие теорий в данном случае является условием появления дополнительности высказываний А и В. Если вместо них взять высказываения о результатах измерения длины и цвета или длины и площади, то никакой дополнительности не будет.

Подчеркнем еще один важный момент, связанный с невозможностью одновременного измерения линейных и фрактальных характеристик. На наш пример можно возразить следующим образом: диапазон изменения масштабов, на котором фрактальная размерность является инвариантом у береговой линии, в отличие, например от фигур Коха и других ге

• 
• 
•