Ruby, 48 - 13 января 2008 12:35

Если попытаться понять какую роль - какие "языковые игры" играют понятия, вводимые Мандельбротом, то можно заметить, что язык введения категории фрактала не связан напрямую с уточнением и ограничением этого понятия. Это впечатление усиливается и при прочтении его "Fractal Geometry of Science". Мандельброт вводит категорию фрактала фрактально - задает "затравку" - первые (пусть и неверные) определения, а потом запускает механизмы их итерации, изменений. И пытается описать то, что при этом получается, какие интерпретации при этом появляются.

Это становится очевидным при рассмотрении проблем определения фрактала. Как известно, точного определения фрактала до сих пор не предложено - с одной стороны, все формулировки разрушались контрпримерами. С другой стороны, определение для категории фрактала особо и не нужно после того, как родилась интерсубъективная практика научного применения категории.

В качестве примера можно рассмотреть определение фрактального множества через понятие самоподобия. Как известно, это понятие неприменимо для описания многих фрактальных множеств - например, для множеств Жюлиа и Мандельброта - их фрагменты, строго говоря, не переводятся во все множество с помощью преобразования подобия. Чтобы выйти из этого положения, Мандельброт говорит о том, что можно расширить описания фракталов через преобразования фрагмента фрактального множества во всї множество, используя и подыскивая не только преобразования подобия, но и другие виды геометрических преобразований (например, аффинные).

Действительно, видно, что фрактал - фигура Коха и фрактал - множество Мандельброта это разные типы фракталов. У них есть общее - наличие рекурсивной процедуры их генерации, но есть и отличия. В первом случае мы имеем дело с инвариантным относительно масштабных преобразований фракталом, во втором можно говорить о коваринтности - о нарушениях инвариантности при масштабных преобразованиях. Поэтому можно говорить о том, что фигура Коха это инвариантный фрактал, а множество Мандельброта это ковариантный (или - если взять на вооружение термин Тимофеева-Ресовского - ковариантно редуплицированный) фрактал.

Исходя из этого, на наш взгляд, можно ввести представление о двух пониманиях самоподобия - жесткого самоподобия (ЖС) - самоподобия типа самоподобия фигур Коха, связанного инвариантностью относительно масштабных преобразований и, и нежесткого самоподобия (НС) - ковариантного самоподобия типа самоподобия множества Мандельброта, когда преобразование фрагмента во всї множества нетривиально.

На наш взгляд жеское и нежесткое самоподобие есть фундаментальные предикаты описания категории фрактала. Именно на поиске и интерпретации самоподобии основаны поиск и интерпретация фрактальных структур в конструктах прикладных теорий, о которых речь пойдет далее.

Подчеркну еще одну важную вещь, связанную с описаниями фрактала. На мой взгляд, концепция фрактала дистанциируется от традиционных понятий задания и описания формы - места, границы, ширины, длины, дихотомий "непрерывное - дискретное", "простое - сложное", определений типа "сложное есть сумма простых частей". Этих понятий просто нет. Они не имеют смыслов - перестают работать внутри концепции фрактала хотя бы потому, что совершенно непонятно как их применять.

Например, когда мы говорим, о самоподобии, о том, что часть в каком-то смысле подобна целому, то познавательный статус понятия "часть" в этом контексте отличается от понятия части в контексте евклидовой геометрии.

Когда утверждается, что отрезок АВ есть часть треугольника АВС, то механизмы восприятия утверждающего - как зрительные, так спекулятивно-теоретические уже настроены на некоторую очевидность границ части и целого, заданную, в выделенных точках А и В. С точки зрения этой очевидности я могу во-первых, совершить сборку целого - сборку треугольника АВС с помощью частей-отрезков, а во-вторых, решить обратную задачу - перейти от частей к целому.

В случае применения фрактальной концепции эта методология сборки целого посредством частей сильно меняется - части не очевидны, границы невидны, для "сборки" целого частей недостаточно, точнее - частей бесконечно много, они бесконечно иерархизированы, перепутаны, наложены друг на друга, и традиционная методология идущая по пути часть- граница - целое не приводит к сборке целого, а разрушает познание бесконечными усложнениями и ограничениями.

Понятие самоподобия есть некий конструктивный фактор, фактор требующий такого же статуса очевидности у фрактала, как статус гладкости евклидовой прямой. Без представления о самоподобии, на наш взгляд, корректно ввести представления о фрактале невозможно.

Поиск самоподобия направлен на поиск инвариантов описания в бесконечных метаморфозах различных масштабов рассмотрения, в различных фрагментах фрактальных множеств.

Фрактальная концепция входит в научные коммуникации потому, что она занимается поиском и интерпретацией неких количественных инвариантов. Проблема описания этих инвариантов, на мой взгляд, стыкуется с проблемой измерения, о которой будет сказано ниже.

Несомненно, что научные коммуникации неявно принимают "метафизические" правила игры - волюнтаризм ввода категории фрактала. Но принятие этого волюнтаризма "новообращенными", рождает новые научные практики, новые фрактальные интуиции, "символы веры" и возможность научной коммуникации в понятиях. На этой базе рождается отождествление математического множества с определенными свойствами и категории фрактальной концепции, в частности происходит превращение "монстра" во фрактал.

И�

• 
• 
•